Calculadora de polinômios - multiplicação, divisão, subtração e fatore

Calculadora de polinômios online

Expressão Algébrica

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Colocamos à sua disposição uma excelente ferramenta, uma calculadora de polinômios na qual você pode resolver todo tipo de operações com polinômios. Algumas das operações que você pode resolver são:

Divisão e Multiplicação de polinômios
Adição e Subtração de polinômios
Fatore os polinômios (decomposição de polinômios )
Simplificação de polinômios

A Calculadora de polinômios online é capaz de resolver uma grande variedade de problemas algébricos. Para poder descobrir as outras operações que podem ser feitas, você pode ir a outra de nossas ferramentas, a Calculadora de Equações. Lá você encontrará instruções e funções mais detalhadas que podem ser de grande ajuda para saber como usar a calculadora.

Instruções para usar a calculadora de polinômios

A calculadora de polinômios que aqui apresentamos tem um design intuitivo e simples, pelo que é bastante fácil de utilizar. Para usar a calculadora polinomial, basta executar os seguintes passos:

O primeiro passo é inserir os polinômios levando em consideração a operação que deseja resolver. Para isso, você pode usar os seguintes operadores:
^ Para indicar os expoentes de cada um dos termos com variável.
* Para multiplicação.
+ Para adição.
– Para subtração ou para indicar um sinal negativo.
/ Dividir.

Em seguida, basta pressionar o botão verde “Calcular” para processar a operação polinomial.

Para usar fatoração polinomial, basta escrever “factor” seguido do polinômio para fatorar entre parênteses e depois pressionar o botão verde “Calcular”. Ex: factor(x^4-10x^2+9) ou factor(x^3+27)
A solução é exibida na caixa principal que aparece imediatamente após o cálculo.

O que significa polinômio?

Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma de um número finito de monômios. Um monômio é formado por um coeficiente (valor numérico) que multiplica uma variável por um expoente, por exemplo a expressão 7x². Em outras palavras, o polinômio é um conjunto de adições e subtrações de vários monômios. Aqui abaixo na imagem você pode ver as partes que compõem um polinômio.

Tipos de polinômios

Os polinômios podem ser classificados identificando o maior expoente dos monômios que o compõem. Desta forma, podemos nomear diferentes polinômios, pois o maior expoente será o grau do polinômio, por exemplo, se o maior expoente do polinômio for 1, será um polinômio de primeiro grau, se for 2, será um segundo grau polinômio e assim por diante.

Existem diferentes maneiras de nomear polinômios, você também pode de acordo com os monômios que o compõem. Um binômio é chamado de polinômio que é formado por dois termos, um trinômio por três, etc. Por isso, é importante conhecer todas as partes do polinômio para saber a que se refere cada classificação.

Características dos polinômios

Grau absoluto de um polinômio:

O grau absoluto pode ser calculado para os polinômios compostos por mais de uma variável. É tão simples quanto somar os expoentes de todas as variáveis de um monômio, por exemplo se tivermos o monômio 7x²y³, o grau absoluto é igual a 2 + 3 = 5.

Polinômio ordenado

Um polinômio é ordenado em relação a uma variável quando os expoentes dessa variável são organizados em ordem crescente ou decrescente. Por exemplo, se temos o polinômio P(x) = x – 2x³ + 6x², para ordená-lo colocamos da seguinte forma: P(x) = -2x³ + 6x² + x.

Polinômio completo

Falamos de um polinômio completo quando ele possui monômios com todos os expoentes possíveis, ou seja, começa no grau mais alto até o termo independente. Por exemplo, um polinômio como: P(x) = 8 x² + x – 2 é um polinômio completo porque não tem nenhum expoente ausente entre 2 e 0.

Polinômio homogêneo

Um polinômio homogêneo é quando a soma total de cada um de seus monômios é a mesma para todos. As variáveis podem ter valores diferentes no expoente, mas a soma dos expoentes das variáveis em todos os monômios deve ser a mesma. Por exemplo: P(x) = x²y³z + 3 x4yz, , ambas as somas dão seis 2 + 3 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6.

Polinômios idênticos

Polinômios idênticos ocorrem quando comparamos dois ou mais polinômios, eles são ditos idênticos se os coeficientes de seus termos semelhantes derem o mesmo número. Vamos ver isso com um exemplo: Comparando esses dois polinômios temos:
P(x) = 2x + 27 e Q(x) = 5 (x + 3) – 3 (x – 4), são idênticos porque os coeficientes de cada termo semelhante são iguais, ou seja, identificando o termo x em P (x) temos que é igual a 2x. Para Q(x) se a operação for resolvida, fica assim Q(x)= 5x + 15 -3x +12, neste caso o termo x é obtido da seguinte forma: 5x-3x = 2x, como vemos são ambos igual a 2x. Para o termo independente fazemos o mesmo, identificamos cada um em cada polinômio, para P(x) seria 27 e para Q(x) 15 +12=27. Como você pode ver eles são idênticos.

Polinômio nulo

É aquele polinômio que possui coeficientes nulos (iguais a zero), portanto o valor total do polinômio também será zero. O polinômio P(x) = 0x³ + 0x² – 0x – 0. Cuidado para não confundi-los com Q(x) = 0, pois neste caso você está formando uma equação e isso não significa que todos os coeficientes de Q( x) são 0.

Operações com polinômios

Para resolver polinômios, é necessário conhecer as operações com polinômios que existem, dominá-los é o que nos dará sucesso na resolução de exercícios de polinômios. Com nossa Calculadora de polinômios, você poderá resolver cada uma dessas operações passo a passo.

Adição e Subtração de polinômios

Adição de polinômios: o ponto chave para a adição de polinômios é saber que apenas termos semelhantes podem ser agrupados, ou seja, a soma é feita levando em consideração os coeficientes que são acompanhados por uma variável com o mesmo expoente. Vamos aprender este conceito através de um exemplo:

Simplesmente o que fizemos foi agrupar e adicionar os coeficientes de cada termo semelhante e no final expressamos todos os termos em um único polinômio.

Subtração de polinômios: partindo da explicação anterior, é mais fácil resolver a subtração de polinômios, pois é resolvido de tal forma que a soma, obviamente o que fazemos é subtrair os termos. Aplicando o mesmo que na soma de polinômios, agrupamos os termos semelhantes, subtraímos e convertemos tudo na mesma expressão. Você pode ver melhor no exemplo a seguir:

Multiplicação de polinômios

Com a multiplicação de polinômios, temos que levar em conta mais coisas ao calcular polinômios com esta operação. Aqui você tem que saber que todos os monômios que compõem o polinômio operam entre si, portanto, neste caso, não apenas os coeficientes dos termos semelhantes serão multiplicados. Além disso, os expoentes também serão multiplicados. Com o exemplo a seguir você entenderá quais operações você deve fazer:

Basicamente, multiplicamos os coeficientes de cada termo de um polinômio por todos os do segundo e depois aplicamos a propriedade potência. Finalmente, realizamos as operações de adição ou subtração necessárias que aprendemos nas seções anteriores, para obter o polinômio de forma forma reduzida possível

Divisão polinômios

Para resolver uma divisão simples de polinômios, o que você deve fazer é aplicar a propriedade distributiva que conhecemos mas realizamos à divisão de polinômios.

Por fim, como na explicação anterior, resta resolver o que resta da operação aplicando a potenciação correspondente à divisão, bem como somando ou subtraindo aqueles termos em que as operações matemáticas o permitem. Vejamos um exemplo:

Fatore os polinômios (decomposição de polinômios)

Uma das operações mais importantes no campo da matemática é a fatoração de polinômios. Isso ocorre porque a fatoração nos permite reescrever polinômios de uma forma mais simples e, aplicando os princípios da fatoração às equações, podemos encontrar a solução de maneira mais simples.

Fatore os polinômios é um processo que busca, por meio de propriedades matemáticas, como a propriedade comutativa, associativa e distributiva, reorganizar e agrupar termos de maneira conveniente. Em outras palavras, a fatoração de um polinômio consiste em representá-lo por meio do produto de seus fatores ou divisores.

Como Fatorar Polinômios – Métodos de Fatoração

Como vimos na definição de fatoração, para fatorar um polinômio, devemos reescrevê-lo como um produto de seus fatores. Para isso, devemos primeiro identificar o máximo divisor comum dos termos. Então devemos usar a propriedade distributiva para reescrever o polinômio em uma forma fatorada. Lembre-se de que a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição afirma que um produto de um número e uma soma é igual à soma dos produtos.

Produtos notáveis e fatoração

Certos produtos que obedecem a regras fixas e cujo resultado pode ser escrito por simples inspeção, ou seja, sem realizar a multiplicação, são conhecidos como produtos notáveis.

Cada produto notável corresponde a uma fórmula de fatoração. Por exemplo, a fatoração de uma diferença de quadrados perfeitos é um produto de dois binômios conjugados. Por esta razão, o método de fatoração com produtos notáveis consiste em identificar no polinômio a presença de uma expressão cuja forma corresponde à de um produto notável e então aplicar a fórmula correspondente e assim reescrever o polinômio em sua forma fatorada.

A seguir apresentaremos os produtos notáveis mais utilizados na fatoração de polinômios:

Fator comum

Este produto notável estabelece que podemos conhecer o resultado da multiplicação de um monômio c por um binômio (a+b) aplicando a lei distributiva:

Produtos de dois binômios com termo em comum

O produto de dois binômios que têm um de seus termos em comum pode ser expresso da seguinte forma:

Produto de dois binômios conjugados

O produto de dois binômios conjugados pode ser expresso como uma diferença dos quadrados dos termos:

Binômio quadrado

O quadrado de um binômio gera o que é conhecido como trinômio quadrado perfeito. Se o binômio for uma soma de dois termos, teremos:

Por outro lado, se falarmos do quadrado da diferença de dois termos, as coisas variam um pouco:

Binômio ao cubo

Um binômio elevado à terceira potência pode ser expresso da seguinte forma se for o cubo da soma de dois termos:

No caso do cubo de uma diferença de termos temos que:

A soma de dois termos elevados cada um ao cubo

Este produto notável afirma que a soma dos termos de cada cubo é igual a:

A diferença de termos elevados cada um para o cubo

Este produto notável é muito semelhante ao anterior, pois apenas o binômio muda de sinal:

Fatoração por fator comum

Este segundo método de fatoração de polinômios será a primeira coisa que devemos tentar, pois na maioria dos casos nos ajuda a simplificar a estrutura do polinômio.

Para colocar esta técnica em prática, basta observar e identificar se existe um fator comum a todos os termos do polinômio. Se tal fator comum existir, nós os eliminamos multiplicando o resto. É importante notar que esta técnica consiste simplesmente em usar a lei distributiva.

Exemplo:

Fatoração por agrupamento

Para realizar a fatoração por agrupamento devemos realizar os seguintes passos:

Aqui estão as etapas necessárias para fatorar por agrupamento:

1: Inspecione o polinômio para um fator comum a todos os termos no polinômio. Caso encontre, estabeleça um produto entre o fator comum e o resto do polinômio.

2: Reagrupe os termos semelhantes do polinômio em pequenos grupos, ou seja, agrupe em um subgrupo todos os termos que contenham um fator comum entre eles.

3: Fatore cada um desses subgrupos usando a técnica do fator comum.

4: Determine se os fatores restantes podem ser fatorados mais.